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¿Qué es el álgebra lineal?

Se entiende por álgebra lineal a la rama del álgebra que se encarga del estudio de matrices, vectores, espacios vectoriales y ecuaciones de tipo lineal. Se trata de funciones matemáticas que ocurren entre vectores dentro de condiciones de linealidad, es decir, la serie de sucesiones que son consecuencia proporcional de una causa.  

Este tipo de álgebra es un área fundamental dentro de las matemáticas, en especial en el campo de la geometría, pues permite definir objetos como líneas, planos o rotaciones. También es indispensable en el campo de la ingeniería, pues facilita el cálculo, modelación y computación de fenómenos naturales.

¿Cuáles son los elementos del álgebra lineal?

En una ecuación de álgebra lineal, cuya representación gráfica es una línea recta, existen una serie de elementos que se deben tomar en cuenta para su resolución:

  • Vectores: trazos rectos que indican una dirección definida y que están proyectados en un determinado espacio. Son líneas con punto de origen, magnitud, dirección, sentido y longitud. Tienen una representación gráfica rectilínea.  
  • Escaladores: elementos que se usan para describir un fenómeno con magnitud pero sin dirección. Pueden ser un número real, complejo o constante.
  • Raíz: cantidad multiplicada por sí misma tantas veces como sea necesario para obtener otra cantidad como resultado. El objetivo de la raíz es conseguir la base de la potencia conociendo el exponente y la cantidad subradical. 
  • Matriz: conjunto bidimensional de números dispuestos en filas y columnas que permiten la representación de coeficientes presentes en sistemas de ecuaciones lineales.
  • Determinante: es la expresión matemática que resulta de la aplicación de los elementos que forman parte de una matriz cuadrada. 

¿Cómo ha evolucionado el álgebra a lo largo de la historia?

La introducción del álgebra lineal en Occidente se remonta al año 1637, cuando René Descartes desarrolla el concepto de coordenadas bajo un enfoque geométrico, conocido hoy en día como geometría cartesiana. Con este concepto se plantea que las líneas y planos están representados a través de ecuaciones lineales, permitiendo calcular sus intersecciones a través de sistemas de ecuaciones lineales.  

Por otro lado, el matemático alemán Gottfried Leibniz estableció, en 1693, el uso de determinantes para resolver sistemas lineales. Posteriormente, en 1750 el matemático suizo Gabriel Cramer utilizó tal concepto para dar solución a sistemas lineales y desarrollar lo que hoy se conoce como regla de Cramer.

El álgebra lineal tal como se conoce hoy en día se ha desarrollado como una sucesión de aportes de científicos que van sumando términos. Los aportes inician en el año 1843, cuando el científico irlandés William Rowan Hamilton desarrolla el término vector y crea los cuaterniones —también llamados cuaternios—. Los cuaterniones son una extensión de los números reales a los que se añaden las unidades imaginarias i, j y k. Están basados en los números complejos, que añaden a los números reales la unidad imaginaria i.

Un año después, el físico alemán Hermann Grassmann publica el libro La teoría lineal de extensión, en el que se desarrollan temas y elementos fundamentales de esta rama del álgebra. Finalmente, en 1848, el matemático inglés James Joseph Sylvester introduce el término matriz.

¿Cuáles son las características principales del álgebra lineal?

  • Estudia los espacios vectoriales, es decir, las estructuras matemáticas en las que se puede sumar entre diferentes elementos (conocidos como vectores) de un conjunto y multiplicarlos por números reales o complejos.
  • Se basa en sistemas de ecuaciones lineales, con elementos constantes (números) e información desconocida y que se representa sin exponentes.
  • Se vale de letras y símbolos para sustituir números en operaciones aritméticas; a estos se les conoce como variables.
  • Se le atribuye el adjetivo lineal porque la ecuación representa una línea recta en el plano cartesiano. 
  • Permite resolver problemas a través de herramientas lógicas y matemáticas, que se pueden aplicar a distintas ciencias y ramas de estudios, pero también para situaciones del día a día.
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